July 28, 2020 | Leave a comment

Im Rahmen des Binomialmodells gehen wir davon aus, dass der Preis des Basiswerts in der Periode entweder nach oben oder unten steigen wird. Angesichts der möglichen Preise des Basiswerts und des Ausübungspreises einer Option können wir die Auszahlung der Option unter diesen Szenarien berechnen, dann diese Auszahlungen diskontieren und den Wert dieser Option ab heute finden. Für viele Variantenklassen sind traditionelle Bewertungstechniken aufgrund der Komplexität des Instruments unlösbar. In diesen Fällen kann ein Monte-Carlo-Ansatz oft nützlich sein. Anstatt zu versuchen, die Differentialgleichungen der Bewegung zu lösen, die den Wert der Option in Bezug auf den Preis des zugrunde liegenden Wertpapiers beschreiben, verwendet ein Monte-Carlo-Modell Simulation, um zufällige Preispfade des zugrunde liegenden Vermögenswertes zu generieren, von denen jede zu einer Auszahlung für die Option führt. Der Durchschnitt dieser Auszahlungen kann diskontiert werden, um einen Erwartungswert für die Option zu erhalten. [29] Beachten Sie jedoch, dass trotz seiner Flexibilität die Verwendung von Simulationen für amerikanische Stiloptionen etwas komplexer ist als für Gittermodelle. An den meisten US-Börsen ist ein Aktienoptionskontrakt die Option, 100 Aktien zu kaufen oder zu verkaufen; Deshalb müssen Sie die Vertragsprämie mit 100 multiplizieren, um den Gesamtbetrag zu erhalten, den Sie ausgeben müssen, um den Anruf zu kaufen. Das Derman Kani Modell wurde entwickelt, um das seit langem bestehende Problem mit dem Black Scholes Modell zu überwinden, das ist das Volatilitätslächeln. Eine der zugrunde liegenden Annahmen des Black Scholes-Modells ist, dass der Basiswert einem zufälligen Spaziergang mit konstanter Volatilität folgt. Bei der Berechnung der impliziten Volatilität für verschiedene Streiks wird jedoch gesehen, dass die Volatilitätskurve keine konstante gerade Linie ist, wie wir erwarten würden, sondern die Form eines Lächelns hat. Diese Kurve der impliziten Volatilität gegenüber dem Streikpreis wird als Volatilitätslächeln bezeichnet.

Wenn das Black Scholes-Modell richtig ist, würde dies bedeuten, dass der Basiswert einer lognormalen Verteilung folgt und die implizite Volatilitätskurve flach gewesen wäre, aber ein Volatilitätslächeln deutet darauf hin, dass Händler implizit eine eindeutige nicht-lognormale Verteilung dem Basiswert zuordnen. Diese nicht lognormale Verteilung kann dem Basiswert nach einem modifizierten zudem gehenden Weg zugeschrieben werden, in dem Sinne, dass die Volatilität nicht konstant ist und sich sowohl mit dem Aktienkurs als auch mit der Zeit ändert. Um die Optionen richtig zu bewerten, müssen wir die genaue Form des modifizierten zufallszufallsgangs kennen. Das Derman Kani-Modell zeigt, wie man die impliziten Volatilitäten als Inputs nimmt, um die Form des zufälligen Spaziergangs des Basiswerts abzuleiten. Genauer gesagt wird ein einzigartiger Binomialbaum aus dem Lächeln extrahiert, das dem zufälligen Spaziergang des Basiswertes entspricht, dieser Baum wird als impliziter Baum bezeichnet. Dieser Baum kann verwendet werden, um andere Derivate zu bewerten, deren Preise nicht ohne weiteres auf dem Markt verfügbar sind – zum Beispiel kann er in Standard-, aber illiquiden europäischen Optionen, amerikanischen Optionen und exotischen Optionen verwendet werden. Ein Händler, der erwartet, dass der Kurs einer Aktie sinkt, kann eine Put-Option kaufen, um die Aktie zu einem festen Preis (“Streikpreis”) zu einem späteren Zeitpunkt zu verkaufen. Der Händler ist nicht verpflichtet, die Aktie zu verkaufen, sondern hat nur das Recht, dies am oder vor dem Ablaufdatum zu tun. Wenn der Aktienkurs bei Ablauf um mehr als die gezahlte Prämie unter dem Ausübungspreis liegt, wird er einen Gewinn machen. Liegt der Aktienkurs bei Ablauf über dem Ausübungspreis, so lässt er den Put-Vertrag auslaufen und verliert nur die gezahlte Prämie. Bei der Transaktion spielt die Prämie ebenfalls eine große Rolle, da sie den Break-even-Punkt verbessert.

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